Das Newtonsche Näherungsverfahren mit Mathcad

25 Juni, 2011

Das Newtonsche Näherungsverfahren (benannt nach Sir Isaac Newton) ist in der Mathematik ein Standardverfahren zur numerischen Lösung von algebraischen Gleichungen höheren Grades oder transzendenten Gleichungen. Newton entwickelte zur Lösung der Gleichung einen Algorithmus, wobei die Gleichung als Nullstellenbedingung f(x)=0 einer stetig differenzierbaren Funktion f aufgefasst wird. Die grundlegede Idee des Verfahrens ist, die Funktion in einem Ausgangspunkt (Startwert) zu linearisieren, d. h. ihre Tangente zu bestimmen, und die Nullstelle der Tangente als verbesserte Näherung der gesuchten Nullstelle der Funktion zu verwenden. Die erhaltene Näherung dient im Allgemeinen als Ausgangspunkt für einen weiteren Verbesserungsschritt.

Newtonsche Näherung Newtonsche Näherung

 

Der Algorithmus liefert eine Zahlenfolge, die nach der Fachliteratur (z. B. Bronstein Semendjajew) als Cauchy-Folge bezeichnet wird. Man kann eine Konvergenzbedingung herleiten, um die Anwendbarkeit des Algorithmus (Rekursionsformel) nach Newton zu testen. Demnach kann das Verfahren immer dann angewendet werden, wenn der Nenner der Rekursionsformel ungleich Null ist. Das Verfahren versagt in der Regel, wenn die Tangente an den Graphen in der Nähe der Nullstelle nahezu parallel zur x-Achse verläuft oder wenn in der Nähe der Nullstelle eine Extremstelle oder eine Wendestelle mit nahezu horizontaler Tangente vorliegt. Mithilfe einer dynamischen  Mathcad-Datei (gezipt) können die Näherungsschritte verfeinert werden. Voraussetzung ist das Computeralgebrasystem Mathcad. Im Akademiebericht 468 sind diese und viele weiteren Mathcad-Dateien veröffentlicht.

Näherungsverfahren Teil 1

  • Algorithmus
  • Beispiel

Näherungsverfahren Teil 2

  • Konvergenzkriterium
  • Aufgaben

Näherungsverfahren Teil 3

  • Anwendung bei einer Flächenberechnung

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