Differentialgleichungen sind ein wichtiges Kapitel der Analysis, wobei eine Theorie zur Existenz von Lösungen entwickelt wird und dann Lösungsmethoden angegeben werden. Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung für eine gesuchte Funktion f, die von einer oder mehreren Variablen x abhängt und in der auch Ableitungen der Funktion enthalten sind, also f=f(x,y,y‘,y“,…). Sie drückt eine Abhängigkeit zwischen der Variablen x, der Funktion y und Ableitungen dieser Funktion aus. Differentialgleichungen sind ein wesentliches Werkzeug der mathematischen Modellierung, die oft durch Differenzengleichungen formuliert werden. Viele Naturgesetze können mittels einer Differentialgleichung ermittelt werden, denn dadurch kann das Änderungsverhalten dieser Größen zueinander beschrieben werden. Im Folgenden werden aus der Abiturprüfung 13 Technik der Beruflichen Oberschule Bayern Aufgaben mit Anwendungsbezug vorgestellt und mithilfe der Methode der Separation der Variablen bzw. der Variation der Konstanten gelöst.
Aufgabentext Lösungen
Aufgabe 1: Abiturprüfung 1999/AI – Newton’sches Abkühlungsgesetz
Aufgabe 2: Abiturprüfung 2000/AI – Fallbewegung einer Kugel in Öl
Aufgabe 3: Abiturprüfung 2002/AI- Beschränktes Wachstum
Aufgabe 4: Abiturprüfung 2002/AII – Konzentration einer Kupfersulfatlösung
Aufgabe 5: Abiturprüfung 2003/AI – Zerfall einer chemischen Substanz
Aufgabe 6: Abiturprüfung 2004/AII – Einschaltvorgang an einer realen Spule
Aufgabe 7: Abiturprüfung 2005/AI – Zunahme einer Population
Aufgabe 8: Abiturprüfung 2006/AI – Freier Fall eines Körpers mit Luftreibung
Aufgabe 9: Abiturprüfung 2006/AII – Radioaktiver Zerfall von Uran
Aufgabe 10: Abiturprüfung 2007/AI – Chemische Reaktion
Aufgabe 11: Abiturprüfung 2007/AII – Abnahmefunktion
Aufgabe 12: Abiturprüfung 2008/AI – Einschaltvorgang Kondensator
Aufgabe 13: Abiturprüfung 2010/AI – Erzwungene periodische Bewegung eines Körpers
Aufgabe 14: Abiturprüfung 2008/AII – Mutter-Tochter-Zerfall
Aufgabe 15: Abiturprüfung 2011/AI – Sinkflug eines Fallschirms
Aufgabe 16: Abiturprüfung 2011/AII – Bewegung einer Kugel in einer Flüssigkeit